Question

已知数列{a_n}满足条件

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+5，则数列{a_n}的通项公式（　　）

• A、a_n=2ⁿ⁺¹
• B、an=

  14??(n=1) 2n+1?(n≥2)?

• C、a_n=2ⁿ
• D、a_n=2ⁿ⁺²

Answer 1

分析：本题考查的是数列求通项的问题．在解答的过程当中，首先要先观察题干条件

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+5的特点，可以将左边看作是一个特殊数列的前n项和，然后利用前n项和与通项之间的联系即可获得数列a_n的关系式，从而获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：数列{a_n}满足条件

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+5，
则

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n-1

an-1=2(n-1)+5，n＞1，
两式相减可得：

an

2n

=2n+5-2(n-1)-5=2，
∴a_n=2ⁿ⁺¹，n＞1，n∈N^*
当n=1时，

a1

2

=7，∴a₁=14，
综上可知：数列{a_n}的通项公式为：an=

14 ，(n=1) 2n+1 ，(n≥2)

．
故选B．

点评：本题考查的是数列求通项的问题．在解答的过程当中充分体现了数列前n项和与通项之间的关系，方程的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．