Question

函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由f(

1

2

)=

2

5

可求得a值．
（2）根据函数单调性的定义即可证明；
（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．

解答：解：（1）因为f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．
又f（

1

2

）=

2

5

，所以

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1．
所以f（x）=

x

1+x2

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（t-1）+f（t）＜0可化为f（t-1）＜-f（t）．
又f（x）为奇函数，所以f（t-1）＜f（-t），
f（x）为（-1，1）上的增函数，所以t-1＜-t①，且-1＜t-1＜1②，-1＜t＜1③；
联立①②③解得，0＜t＜

1

2

．
所以不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集为(0，

1

2

)．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理．