Question

已知实数x，y满足不等式

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，则

x2+y2

xy

的取值范围是

[2，

10

3

]

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件 

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，画出满足约束条件的可行域，将式子

x2+y2

xy

进行变形，再分析 z=

y

x

表示的几何意义，结合图象即可给出 

y

x

的取值范围，最后再结合基本不等式及函数思想得出

x2+y2

xy

的取值范围．

解答：解：约束条件 

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，对应的平面区域如下图示：
z=

y

x

表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，
由图可知 

y

x

的最大值为直线2x-y=0的斜率2，最小值为直线OA的斜率

1

3

，其取值范围是[

1

3

，2]，
又

x2+y2

xy

=

x

y

+

y

x

≥2

x y × y x

=2，当

y

x

=1时取等号，
且当

y

x

=

1

3

时，

x2+y2

xy

=

x

y

+

y

x

取得最大值

10

3

．
则

x2+y2

xy

的取值范围是 [2，

10

3

]．
故答案为：[2，

10

3

]

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．