Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为1的菱形．侧面PAD是正三角形，其所在侧面垂直底面ABCD，G是AD中点．
（1）求异面直线BG与PC所成的角；
（2）求点G到面PBC的距离；
（3）若E是BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先通过△PAD为正三角形，G为AD中点，得到PG⊥AD；进而得到PG⊥面ABCD以及PG⊥GB；再通过∠DAB=60°，四边形ABCD为菱形得到BG⊥AD就可以建立空间直角坐标系G-xyz；宁求出个点坐标，进而得到向量BG与PC的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．
（2）先求出面PBC的一个法向量的坐标，再结合点到面的距离计算公式即可求出结论；
（3）先假设其存在F分

CP

的比为λ；根据∠DAB=60°，得到BD=DC，进而得到BC⊥DE，BC⊥面DEF，从而有BC⊥EF，通过其数量积为0即可求出λ得到结论即可．

解答：解：（1）∵△PAD为正三角形，G为AD中点，
∴PG⊥AD
又PG⊆面PAD，面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
∴PG⊥面ABCD，又GB?面ABCD
∴PG⊥GB
又∵∠DAB=60°，四边形ABCD为菱形，
∴BA=BD
∴BG⊥AD
以G为原点，GB所在直线为x轴，GD所在直线为y轴，GP所在直线为z轴，
建立（如图所示）空间直角坐标系G-xyz，则G（0，0，0），B(

3

2

，0，0)，P(0，0，

3

2

)，C(

3

2

，1，0)，E(

3

2

，

1

2

，0)
∵

PC

=(

3

2

，1，-

3

2

)，

GB

=(

3

2

，0，0)
∴GB与PC所成角θ的余弦值为：cosθ=|

GB • PC

| GB |•| PC |

|=

3 4

6 4 +1 • 3 4

=

3

30

=

30

10

∴θ=arccos

30

10

（2）设面PBC的一个法向量为

n

=(x，y，1)，

BC

=(0，1，0)
由

n

•

BC

=0和

n

•

PC

=0得

y=0 3 2 x+y- 3 2 =0

⇒

x=1 y=0 z=1

，即

n

=(1，0，1)
∴G到面PBC的距离d=|

GB • n

| n |

|=

3 2

2

=

3

2 2

=

6

4

（3）设存在F点，使面DEF⊥面ABCD，且F分

CP

的比为λ
则F(

3 2

1+λ

，

1

1+λ

，

3 2 λ

1+λ

)
∵∠DAB=60°，∴BD=DC，又∵E为BC中点，∴BC⊥DE
由BC?面ABCD，面DEF∩面ABCD=DE知
BC⊥面DEF
∴BC⊥EF
∴

BC

•

EF

=(0，1，0)•(

3 2

1+λ

-

3

2

，

1

1+λ

-

1

2

，

3 2 λ

1+λ

)=0
即

1

1+λ

-

1

2

=0，∴λ=1
∴F为PC中点

点评：本题主要考察空间中点到面的距离以及异面直线所成的角．解决本题的关键在于先通过△PAD为正三角形，G为AD中点，得到PG⊥AD；进而得到PG⊥面ABCD以及PG⊥GB；再通过∠DAB=60°，四边形ABCD为菱形得到BG⊥AD，从而建立空间直角坐标系G-xyz，用空间向量知识求解．