Question

已知A，B，P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=

1

3

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  6

  2

• C、

  2

• D、

  2 3

  3

Answer 1

分析：设A，B，P三点的坐标分别为 （x₁，y₁），（-x₁，-y₁），（x₂，y₂ ），由 kPA•kPB=

1

3

 可得

y22 -y12

x22-x12

=

1

3

，①又

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，可得 

y22 -y12

x22-x12

= 

b2

a2

 ②，
由①②可得 

b2

a2

=

1

3

，故 e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

4

3

，从而得到离心率 e=

c

a

．

解答：解：设A，B，P三点的坐标分别为 （x₁，y₁），（-x₁，-y₁），（x₂，y₂ ），
由 kPA•kPB=

1

3

 可得，

y2 -y1

x2-x1

•

y2 +y1

x2+ x1

=

y22 -y12

x22-x12

=

1

3

  ①．
又

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，∴

x22

a2

-

x12

a2

=

y22

b2

- 

y12

b2

，

y22 -y12

x22-x12

= 

b2

a2

 ②，由①②可得 

b2

a2

=

1

3

，∴e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=

a2+ 1 3 a2

a2

=

4

3

，
故 离心率 e=

c

a

=

2 3

3

，
故选  D．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到

b2

a2

=

1

3

，是解题的关键．