Question

【题目】已知正项数列的前项和为，数列是首项为，公比为的等比数列．

（1）求证：数列是等差数列．

（2）若的前项和．

（3）在（2）条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由可求得数列的递推公式，从而得到数列为等差数列；（2）由已知求得的通项公式，进而得到，结合特点采用错位相减法求和；（3）整理数列通项公式，从而得到

试题解析：（1）由 ①

当， 解得 1分

当 ②

①-②得 2分

即 3分

因为，所以即

所以数列是以为首项为公差的等差数列 4分

（2）依题意

所以 5分

6分

①

, ② 7分

①—②得

9分

（3）因为 10分

所以要使数列为等比数列，当且仅当时

故存在，使为等比数列 12分