Question

在等差数列{a_n}中，设S_n为它的前n项和，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，且点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上．
（Ⅰ）求a₁的取值范围；
（Ⅱ）指出

S1

a1

，

S2

a2

，…，

S15

a15

中哪个值最大，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据斜率的表示方法，求得等差数列的公差，进而根据等差数列求和公式表示出S₁₅和S₁₆，根据其范围确定a₁的取值范围；
（Ⅱ）根据S₁₅和大于0判断出a₈＞0，根据S₁₆=8（a₈+a₉）判断出a₈＞0，a₉＜0进而可知数列的前8项的和最大．进而根据当1≤i≤8时，

Si

ai

＞0；当9≤i≤15时，

Si

ai

＜0，推断出数列{a_n}为递减数列，进而推断出

S8

a8

最大．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

a5-a3

5-3

=-2，则公差d=-2，
∴

S15=15a1+ 15×14 2 ×d=15(a1-14)＞0 S16=16a1+ 16×15 2 ×d=16(a1-15)＜0

?＜14＜a1＜15；
（Ⅱ）最大的值是

S8

a8

∵S₁₅=15a₈＞0，S₁₆=8（a₈+a₉）＜0
∴a₈＞0，a₉＜0即S₈最大
又当1≤i≤8时，

Si

ai

＞0；当9≤i≤15时，

Si

ai

＜0，数列{a_n}递减
所以，

S1

a1

≤

S2

a2

≤≤

S8

a8

≥

S9

a9

≥≥

S15

a15

?

S8

a8

最大．

点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的求和公式，通项公式，不等式问题等，综合性很强．