Question

已知圆M：x²+y²=4，O为坐标原点，直线l与圆M相切，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则△OAB的面积最小值是

 

．

Answer 1

分析：设A（a，0），B（0，b），则切线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1（a，b＞0）．利用直线l与⊙M相切的性质可得：

ab

a2+b2

=2，再利用基本不等式和三角形的面积计算公式即可得出．

解答：解：设A（a，0），B（0，b），则切线l的方程为：

x

a

+

y

b

=1（a，b＞0）．即bx+ay-ab=0．
∵直线l与⊙M相切，∴

ab

a2+b2

=2，化为

a2b2

4

=a2+b2，
∴

a2b2

4

≥2ab，∴ab≥8．当且仅当a=b=2

2

时取等号．
∴△OAB的面积S=

1

2

ab≥

1

2

×8=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、基本不等式、三角形的面积计算公式，属于基础题．