Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证CF⊥平面ABB₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CF垂直平面ABB₁内两相交直线垂直，而CF⊥BB₁，CF⊥AB，BB₁∩AB=B，满足定理条件；
（Ⅱ）取AB₁的中点G，连接EG，FG，欲证CF∥平面AEB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CF与平面AEB₁内一直线平行即可，而CF∥EG，CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，满足定理条件．

解答：证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴BB₁⊥平面ABC．
又∵CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，
∴CF⊥AB．
又∵BB₁∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB₁．
（Ⅱ）证明：取AB₁的中点G，连接EG，FG．

∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，FG=

1

2

BB₁．
又∵EC∥BB₁，EC=

1

2

BB1，
∴FG∥EC，FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
又∵CF?平面AEB₁，EG?平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．

点评：本小题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．