Question

设定义在R上的函数  ,当x=-1时,f（x）取极大值, 且函数y=f（x）的图象关于点（0,0）对称．

（Ⅰ）求f（x）的表达式;

（Ⅱ）试在函数y=f（x）的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在上;

（Ⅲ）设    ,求证:．

Answer 1

解：由f（x）的图象关于点（0,0）对称,即f（x）是奇函数,所以

由题意,得    所以       ．

可以检验f（x）满足题意:当x=-1时,f（x）取极大值．

所以,所求……………4分

（II）  设所求两点为（x₁,f（x₁））,（x₂,f（x₂））  x₁,x₂∈[,得 因为,所以或即 或 从而可得所求两点的坐标为:

（0,0）,或者（0,0）, ……………8分

（III）,当时,即在上递减,得,即． ,用导数可求得,即,

所以………………12分