Question

已知函数f(x)=

3 sin4x

cos2x

+asin2x在x=

π

6

时取到最大值．
（1）求函数f（x）的定义域；（2）求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据分母不为零，即cos2x≠0求出函数的定义域，要用集合形式表示；
（2）利用倍角公式对解析式进行化简，利用asinx+bcosx≤

a2+b2

和条件列出方程，求出a的值．

解答：解：（1）要使函数有意义，则需要满足cos2x≠0，即2x≠kπ+

π

2

(k∈z)，
∴f（x）的定义域为{x|x≠

1

2

kπ+

π

4

，k∈z}．
（2）由f(x)=

3 sin4x

cos2x

+asinx2=2

3

sin2x+

a

2

(1-cos2x)（6分）
∴f(x)=2

3

sin2x-

a

2

cos2x+

a

2

≤

(2 3 )2+( a 2 )2

+

a

2

∵x=

π

6

时，f（x）取到最大值，则2

3

sin

π

3

-

a

2

cos

π

3

=

12+( a 2 )2

∴3-

a

4

=

12+( a 2 )2

，解得a=-4
因此所求实数a的值为-4．

点评：本题考查了三角函数的定义域和最值的求法，利用倍角公式和正弦函数的性质，三角函数是高考的重点，必须掌握和理解公式以及三角函数的性质并会应用．