Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，E是PD的中点，且PA=BC=

1

2

AD．
（1）求证：CE∥平面PAB
（2）求证：CD⊥平面PAC
（3）若PA=1，求三棱锥C-PAD的体积．

Answer 1

分析：（1）取PA的中点F，连接EF，BF，证明EF

∥

.

BC，说明四边形EFBC是平行四边形，利用CE∥FB，证明CE∥平面PAB．
（2）设PA=1．求出AD=2．推出PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．然后证明CD⊥面PAC．
（3）若PA=1，求三棱锥C-PAD的体积．

解答：解：（1）取PA的中点F，连接EF，BF，=∵PF=FA，PE=ED，∴EF∥

1

2

AD
∴EF

∥

.

BC，
∴四边形EFBC是平行四边形∴CE∥FB
∵CE?平面PAB，FB?平面PAB
∴CE∥平面PAB
（2）设PA=1．由题意 PA=BC=1，AD=2．                   …（2分）
∵PA⊥面ABCD，∴PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．
∴AB=1，由∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得 AC⊥CD．                    …（3分）
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，…（5分）
（3）由（2）可知，PA⊥面ABCD，∴三棱锥C-PAD的体积就是P-ACD的体积，
PA=1．由题意 PA=BC=1，AD=2，
PB与面ABCD所成的角为∠PBA=45°．
∴AB=1
S_△ACD=

1

2

×AD×AB=1，
V_C-PAD=

1

3

×1×1=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定与证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力．