Question

（2013•东城区二模）如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（1）求证：AD⊥AC′；
（2）若M，N分别是BD，C′B的中点，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据题目给出的条件，∠BAD=90°，AD⊥C′B，利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；
（2）由（1）得到AB，AD，AC^′两两互相垂直，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系后，解出相应点的坐标，求出两个平面AMN和ABM的法向量，利用平面法向量求二面角N-AM-B的余弦值．

解答：（1）证明：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB，
又因为C^′B⊥AD，且AB∩C^′B=B，
所以AD⊥平面C^′AB，
因为AC^′?平面C^′AB，
所以AD⊥AC^′．
（2）因为△BCD是等边三角形，
AB=AD，∠BAD=90°，
不防设AB=1，则BC=CD=BD=

2

，
又因为M，N分别为BD，C^′B的中点，
由此以A为原点，AB，AD，AC^′所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则有A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C^′（0，0，1），M(

1

2

，

1

2

，0)，N(

1

2

，0，

1

2

)．
所以

AM

=(

1

2

，

1

2

，0)，

AN

=(

1

2

，0，

1

2

)．
设平面AMN的法向量为

m

=(x，y，z)．
则

AM • m =0 AN • m =0

，
即

1 2 x+ 1 2 y=0 1 2 x+ 1 2 z=0

，
令x=1，则y=z=-1．
所以

m

=(1，-1，-1)．
又平面ABM的一个法向量为

n

=(0，0，1)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-1

3

=-

3

3

．
所以二面角N-AM-B的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定及性质，考查了利用空间向量求解二面角的问题，解答的关键是建立正确的空间坐标系，即符合右手系，同时注意两平面法向量所成的角与二面角的关系，是中档题．