题目内容
已知函数f(x)的定义域为［0,1］,且同时满足:①f(1)=3;②f(x)≥2对一切x∈［0,1］恒成立;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.(1)求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)试比较f(
)与
+2的大小;
(3)某同学发现:当x=
(n∈N)时,有f(x)＜2x+2,由此他提出猜想:对一切x∈(0,1］,都有f(x)＜2x+2,请你判断此猜想是否正确,并说明理由.
解：(1)设x1,x2∈［0,1］,x1＜x2,则x2-x1∈［0,1］.
∴f(x2)=f［(x2-x1)+x1］≥f(x2-x1)+f(x1)-2.
∴f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)-2≥0.
∴f(x1)≤f(x2).
则当0≤x≤1时,f(0)≤f(x)≤f(1).
在③中,令x1=x2=0,得f(0)≤2,
由②得f(0)≥2,∴f(0)=2.
∴当x=0时,f(x)取得最小值为2;
当x=1时,f(x)取得最大值为3.
(2)在③中,令x1=x2=,得f()≥2f()-2,
∴f(
)-2≤
［f(
)-2］≤
［f(
)-2］≤…≤
［f(
)-2］=
,
即f(
)≤
+2.
(3)对x∈［0,1］,总存在n∈N,满足
＜x≤
.
由(1)与(2),得f(x)≤f(
)≤
+2,
又2x+2＞2·
+2=
+2,
∴f(x)＜2x+2.
综上所述,对任意x∈［0,1］,f(x)＜2x+2恒成立.
练习册系列答案
相关题目