Question

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）点M在线段PC上，满足

PM

=t

PC

，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MQB与平面CQB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据底面ABCD为菱形，∠BAD=60°且Q为AD的中点，连结AC交BQ于一点N，可解得AN=

1

3

AC，从而推测当t=

1

3

时，PA∥平面MQB；
（2）由已知可得到QA，QB，QP两两互相垂直，所以以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用平面法向量求平面MQB与平面CQB所成角的大小．

解答：解：（1）当t=

1

3

时，PA∥平面MQB
下面证明，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，所以

AQ

BC

=

AN

NC

=

1

2

．
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

，即：PM=

1

3

PC，
所以t=

1

3

时，满足题意；
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，
则各点坐标为A（1，0，0），B（0，

3

，0），Q（0，0，0），P（0，0，

3

）．

QB

=(0，

3

，0)，

PA

=(1，0，-

3

)．
设平面MQB的法向量为

n

=(x，y，1)，可得

n • QB =0 n • MN =0

，∵PA∥MN，∴

n • QB =0 n • PA =0

，
即

3 y=0 x- 3 z=0

，取z=1，得x=

3

，所以

n

=(

3

，0，1)，
取平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

．
故平面MQB与平面CQB所成角的大小为60°．

点评：本题考查了共线向量基本定理，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间右手系，随机中档题．