Question

设x₁＜x₂，定义区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁．若函数y=2^|x|，x∈[a，b]的值域与的值域相同，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．

Answer 1

1
分析：先利用导数正确求出函数的值域，进而利用单调性求出函数y=2^|x|取何定义域时的值域与之相同即可．
解答：对于函数，∵x≥0，1-x≥0，∴0≤x≤1．∴此函数的定义域为[0，1]．
=，令y^′=0，解得．
当时，y^′＞0；当时，y^′＜0．
∴函数f（x）=在区间上单调递增，在区间是单调递减．
又，f（1）=1，，∴f（x）_max=2，f（x）_min=1，
函数的值域为[1，2]．
当x∈[0，1]时，函数y=2^|x|，x∈[0，1]的值域为[1，2]．
则区间[0，1]的长度的最大值与最小值的差为1．
故答案为1．
点评：正确求出函数的值域及与利用单调性求出函数y=2^|x|取何定义域时的值域相同是解题的关键．