题目内容
19、求证：x＞1时，2x3＞x2+1．
分析：构造函数f（x）=2x3-x2-1，则f′（x）=6x2-2x=2x（3x-1）．由导数判断函数在（1，+∞）上的的单调递增，从而有f（x）＞f（1）=0，即证
解答：证明：令f（x）=2x3-x2-1，则f′（x）=6x2-2x=2x（3x-1）．
当x＞1时，f′（x）＞0恒成立．
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x＞1时，2x3＞x2+1．
当x＞1时，f′（x）＞0恒成立．
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x＞1时，2x3＞x2+1．
点评：本题考查了利用导数法判断单调性，转化证明不等式，解题的关键是构造函数，体现了数学中的转化思想及构造函数的方法．
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