Question

在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线x+y+3

2

+1=0相切．   （I）求圆C的方程；
（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=R²，利用圆心到直线的距离等于半径求出半径，即得圆的方程．
（2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为y=x+m，由k_OA•k_OB=-1，得 x₁x₂+y₁y₂=0．把直线方程代入圆方程，把根与系数的关系代入x₁x₂+y₁y₂=0，求得m值，即得直线的方程．

解答：解：（1）设圆的方程是（x-1）²+（y+2）²=R²，依题意得，所求圆的半径R=|

1-2+3 2 +1

2

|=3，
∴所求的圆方程是（x-1）²+（y+2）²=9．
（2）设存在满足题意的直线l，设此直线方程为y=x+m，
设直线l与圆C相交于A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），依题意有OA⊥OB，
即k_OA•k_OB=-1，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
因为

y=x+m (x-1)2+(y+2)2=9

即

y=x+m x2+y2-2x+4y-4=0

，消去y得：2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，
所以，x1+x2=-(m+1)，x1x2=

m2+4m-4

2

．
∵

x1x2+y1y2=0 ， y1=x1+m ，y2=x2+m

，
∴

x1x2+(x1+m)(x2+m)=0， 即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0

，
∴

m2+3m-4=0

，解得m₁=-4，m₂=1，
经检验m₁=-4，m₂=1都满足△＞0，都符合题意，∴存在满足题意的直线l：l₁：y=x-4，l₂：y=x+1．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，一元二次方程根与系数的关系，判断k_OA•k_OB=-1，是解题
的关键，属于中档题．