题目内容

已知双曲线C的渐近线方程为 $数学公式$ ，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为 $数学公式$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证： $数学公式$ 为定值．

解：（1）设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由题知c=2，∴ $\text{[math]}$ ，∴λ=3…（4分）
∴双曲线方程为： $\text{[math]}$ …（5分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入 $\text{[math]}$
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点P（x₀，y₀）
则 $\text{[math]}$ ，代入l得： $\text{[math]}$ …（7分）
$\text{[math]}$ …（8分）
AB的垂直平分线方程为 $\text{[math]}$ …（9分）
令y=0得 $\text{[math]}$ …（10分）
∴ $\text{[math]}$ …（11分）
∴ $\text{[math]}$ 为定值．…（12分）
分析：（1）由渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，可设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0），由题知c=2，代入可求双曲线方程
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入 $\text{[math]}$ ，整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点P（x₀，y₀）则利用方程的根与系数的关系可求x₀，y₀．利用弦长公式可表示AB，然后由AB的垂直平分线方程可求D的坐标，进而求出FD，从而可求
点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与曲线相交求解弦长，解题中要善于应用两直线垂直得斜率之间的关系．