题目内容

已知函数f(x)=
sinx
x
，0＜x＜
π
2
，设M=f3（x）•x2，N=18-5f（x），则（　　）
分析：可利用分析法，要比较M与N的大小，只需比较
sinx
x
与
18
5+sin2x
的大小即可，再利用f（x）=
sinx
x
，在x∈（0，
π
2
）上单调递减，可得答案．
解答：解：由题意可得，M=
sin3x
x
，N=
18x-5sinx
x
，
∴要比较M与N的大小，只需比较sin3x与18x-5sinx的大小即可．
只需比较sin3x+5sinx与18x的大小即可，
∵sin3x+5sinx=sinx（sin2x+5），0＜x＜
π
2
，
∴只需比较
sinx
x
与
18
5+sin2x
即可．
∵f（x）=
sinx
x
，在0＜x＜
π
2
时，tanx＞x＞sinx，
∴f′（x）=
xcosx-sinx
x2
=
x-tanx
x2•cosx
＜0，
∴f（x）=
sinx
x
，在x∈（0，
π
2
）上单调递减，
∴f（x）＜f（
π
2
）=
1
π
2
=
2
π
，而x∈（0，
π
2
）时，
18
5+sin2x
＞3，
∴
sinx
x
＜
18
5+sin2x
，以上步步可逆，
∴M＜N．
故选C．
点评：本题考查不等式比较大小，突出考查分析法的应用，利用导数研究函数f（x）=
sinx
x
，在x∈（0，
π
2
）上单调递减是关键，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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