Question

【题目】已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.

（1）求圆的标准方程；

（2）若点，点是圆上一点，点是的重心，求点的轨迹方程；

（3）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（2）设点的坐标为，点的坐标为，由重心坐标公式得到，结合，代入得到轨迹方程；（3）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用判别式大于0得到或利用韦达定理以及中点坐标公式得到中点坐标为，由，则，解得，即可得出结论．

（1）设圆：，由题意知，

解得或.

又∵，∴，∴圆的标准方程为.

（2）设点的坐标为，点的坐标为，由已知得：

，即，又，

所以，即为所求.

（3）当斜率不存在时，直线的方程为，不满足题意.

当斜率存在时，设直线的方程为，，.

又∵直线与圆相交于不同的两点，联立，消去得.

∴，解得或.

，.

∴中点坐标为.

在平行四边形中，则，

由于，则，∴，解得.

但，假设不成立.∴不存在这样的直线.