Question

正实数数列中,,且成等差数列.
(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；
(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.

Answer 1

（）时，为整数；

考查等差数列及数列分组求和知识
证明：（1）由已知有：，从而，
方法一：取，则（）
用反证法证明这些都是无理数.
假设为有理数，则必为正整数，且，
故.,与矛盾，
所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;
方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．
(2) 要使为整数，由可知：
同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或
当时，有（）
又必为偶数，所以（）满足
即（）时，为整数；
同理有（）
也满足，即（）时，为整数；
显然和（）是数列中的不同项；
所以当（）和（）时，为整数；
由（）有，
由（）有.
设中满足的所有整数项的和为，则