Question

已知函数y=f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象与y轴交于点（0，

3

），点（a+π，-2）与（a，2）分别是函数图象上相邻的最低点与最高点．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 

3

2

倍，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，得函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式，并画出函数y=g（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．

Answer 1

分析：（1）依题意，可知A=2，由T=2π可求ω，y=f （x）的图象经过点（0，

3

），|φ|＜

π

2

可求得φ；
（2）令2x+

π

3

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，得到相应的x的值，列表，描点即可．

解答：解：（1）根据题意，函数y=f （x）=Asin（ωx+φ）中，A=2，T=2π，ω=1．  …（3分）
又函数y=f （x）的图象与y轴交于点（0，

3

），∴2sinφ=

3

．
由于|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

．
∴f （x）=2sin（x+

π

3

）． …（6分）
（2）由题意，得g （x）=3sin（2x+

π

3

）．…（8分）
列表如下：

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（2x+ π 3 ）	0	3	0	-3	0

描点画图如下：
  …（13分）
（其中列表（10分），描点画图13分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换与作图能力，属于中档题．