Question

已知函数f（x）=

a

x-1

且此函数图象过点（2，1）
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）用定义证明函数在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数图象过点（2，1），将x=2，y=1代入函数的解析式即可求出a的值；
（Ⅱ）先设任x₁，x₂∈（1，+∞），取值作差，通分化简判定出符号，再根据函数单调性的定义进行判定即可．

解答：解：（I）∵函数f（x）=

a

x-1

，且此函数图象过点（2，1）
∴

a

2-1

=1，∴a=1．
（II）设任x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∵f（x₂）-f（x₁）=

1

x2-1

-

1

x1-1

=

x1-x2

(x2-1)(x1-1)

x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0
则

x1-x2

(x2-1)(x1-1)

＜0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
根据单调增函数的定义可知f（x）在（1，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及分式函数符号的判定，属于基础题．