题目内容

已知焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1， $数学公式$ ），直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，其中O为坐标原点．
（1）求 $数学公式$ 的范围；
（2）若 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 共线，求 $数学公式$ 的值及△AOB的外接圆方程．

解：（1）∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴c=1
∴b²=1，所以椭圆的方程是 $\text{[math]}$ ，
直线方程y=k（x-1）代入椭圆的方程 $\text{[math]}$ ，消去y，化简为（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （#）
令 $\text{[math]}$ =m，则 $\text{[math]}$ ≥0，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
当k不存在时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
综上， $\text{[math]}$ （6分）
（2） $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
由韦达定理知k=0或k= $\text{[math]}$ 代入（#）得 $\text{[math]}$ =-2或0
当 $\text{[math]}$ =-2时，A，O，B共线，不存在外接圆
当 $\text{[math]}$ =0时， $\text{[math]}$ ，外接圆直径为AB，圆心为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$
∴△AOB的外接圆方程为 $\text{[math]}$
分析：（1）利用焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1， $\text{[math]}$ ），结合椭圆的定义，可以求出椭圆的标准方程，再将直线方程与椭圆方程联立，将数量积用坐标表示，就可以求出 $\text{[math]}$ 的范围；
（2） $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 共线，及韦达定理，我们可以求出 $\text{[math]}$ 的值，再分类求出△AOB的外接圆方程即可．
点评：椭圆的标准方程的确定，关键是确定椭圆的几何量，直线与椭圆的位置关系问题，通常要利用韦达定理，注意掌握技巧与方法．