Question

已知数列{a_n}是等比数列，其前n项的和为S_n，a₁+2a₂=0，S₄-S₂=

1

8

（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nS_n}的前n项的和；
（3）求使不等式 a_n≥

1

16

成立的n的集合．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（2）利用（1）和等比数列的前n项和公式即可得出a_nS_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）由an≥

1

16

，即(-

1

2

)n-1≥

1

16

．分类讨论：当n是偶数时；当n是奇数时，可化为(

1

2

)n-1≥(

1

2

)4，再利用指数函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}公比是q，
∵a₁+2a₂=0，∴q=

a2

a1

=-

1

2

．
∵S₄-S₂=

1

8

，
∴

a1[1-(- 1 2 )4]

1-(- 1 2 )

-a1(1-

1

2

)=

1

8

，解得a₁=1．
∴an=a1qn-1=1×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-1．
（2）由（1）可得Sn=

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=

2

3

[1-(-

1

2

)n]，
∴a_nS_n=

2

3

[(-

1

2

)n-1-(-

1

2

)2n-1]．
∴数列{a_nS_n}的前n项的和=a₁S₁+a₂S₂+…+a_nS_n
=

2

3

[

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

-

- 1 2 (-(- 1 2 )2n)

1-(- 1 2 )2

]=

8

9

-

4

9

(-

1

2

)n-

4

9

•(

1

4

)n．
（3）an≥

1

16

，(-

1

2

)n-1≥

1

16

．
可知：当n是偶数时，此不等式不成立．
当n是奇数时，可化为(

1

2

)n-1≥(

1

2

)4，∴n-1≤4，解得n≤5．
但n是正整数，
故使原不等式成立的n的集合为{1，3，5}．

点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式、指数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．