Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

1

4

Sn+1-

1

2

(其中n∈N*)．
（I）求a₂，a₃；
（Ⅱ）设b_n=

1

2

an+1-an，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项；
（Ⅲ）设c_n=

22n+1

an•an+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）S_n+1=4a_n+2，当n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，a₂=5；（1分）
当n=2时，a₁+a₂+a₃=4a₂+2，6+a₃=22，a₃=16；（2分）
（II）由an=

1

4

Sn+1-

1

2

得，an+1=

1

4

Sn+2-

1

2

，an+1-an=

1

4

an+2

1

2

an+1-an=

1

4

an+2-

1

2

an+1=

1

2

(

1

2

an+2-an+1)，
∴bn=

1

2

bn+1，

bn+1

bn

=2∴数列{b_n}是公比为2的等比数列．（4分）
b1=

1

2

a2-a1=

3

2

，
∴bn=

3

2

•2n-1=3•2n-2（5分）
（III）由（II）
3•2n-2=

1

2

an+1-an，

3

4

=

an+1

2n+1

-

an

2n

，令dn=

an

2n

，d1=

a1

2

=

1

2

∴数列{dn}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列．（7分）
∴dn=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3n-1

4

cn=

22n+1

an•an+1

=

1

dndn+1

=

4

3

(

1

dn

-

1

dn+1

)
∴Tn=

4

3

(

1

d1

-

1

d2

+

1

d2

-

1

d3

+…+

1

dn

-

1

dn+1

)=

4

3

(2-

4

3n+2

)=

8n

3n+2

（8分）