Question

已知：函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（1）求：f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，求：θ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后求导函数，令导数等于0，判定导数符号从而求出函数的单调区间；
（2）求切线斜率的取值范围即先求g（x）=f'（x）=

2x(x+2)

x+1

的取值范围，可利用导数研究g（x）的范围，从而切线的范围，即可求出θ的取值范围．

解答：解：（1）函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），f'（x）=2（1+x）-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，
令f'（x）=0解得x=0或x=-2，则

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	-	0	+
f（x）	↓	极大	↑	↓	极小	↑

由此：函数f（x）的单调增区间：（-2，-1），（0，+∞）；　　函数f（x）的单调减区间：（-∞，-2），（-1，0），
（2）令g（x）=f'（x）=

2x(x+2)

x+1

，（x≠-1）
g'（x）=2+

2

(x+1)2

＞0，则g（x）在区间[0，1]上是增函数，
所以f'（x）=g（x）∈[0，3]，根据导数的几何意义可知：f'（x）=k=tanθ∈[0，3]，
∴θ∈[0，arctan3]．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及导数的几何意义，同时考查了计算能力，属于中档题．