Question

如图，F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为

7

．

Answer 1

分析：设△ABF₂的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF₂为等边三角形，可求m的值，在△AF₁F₂中，由余弦定理，可得结论．

解答：解：设△ABF₂的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF₁|=m-2a
∴|AF₁|=2m-2a
∵|AF₁|-|AF₂|=2a
∴2m-2a-m=2a
∴m=4a
在△AF₁F₂中，|AF₁|=6a，|AF₂|=4a，|F₁F₂|=2c，∠F₁AF₂=60°
∴由余弦定理可得4c²=（6a）²+（4a）²-2•6a•4a•

1

2

∴c=

7

a
∴e=

c

a

=

7

故答案为：

7

．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的运用，属于中档题．