Question

已知圆O：x²+y²=1（点O为坐标原点），一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（x），求f（k）的表达式；
（2）若，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）y=kx+b（b＞0）与x²+y²=1相切，则，
即b²=k²+1，∵b＞0，∴
消去y，
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
∵l与椭圆交于不同的两点，
∴△=16k²b²-4（2k²+1）（2b²-2）=8k²＞0，k≠0．
∴
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=，
∴
所以b²=2，∵b＞0，∴，
∴或
分析：（1）利用圆心到直线的距离为半径1求得k和b的关系式，同时把直线与椭圆方程联立消去y根据判别式大于或等于0求得k的范围，综合可得f（k）的表达式；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据（1）可表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而可求得，最后根据求得k，进而求得b，则直线l的方程可得．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．一般是把直线方程与圆锥曲线方程联立消元，根据韦达定理来解决．