题目内容
设函数f（x）=
x3-ax2-3a2x+1，其中a＞0．
（1）求f′（x）的表达式；
（2）若a=1，求函数f（x）的单调区间、极值．
| 1 | 3 |
（1）求f′（x）的表达式；
（2）若a=1，求函数f（x）的单调区间、极值．
分析：（1）由导数的求导法则可知，导函数的表达式；
（2）由（1）知，f′（x）=x2-2x-3，列表，进而可以得到函数的单调区间与极值．
（2）由（1）知，f′（x）=x2-2x-3，列表，进而可以得到函数的单调区间与极值．
解答：解：（1）∵f(x)=
x3-ax2-3a2x+1
∴f′（x）=x2-2ax-3a2
（2）∵a=1
∴f(x)=
x3-x2-3x+1，f′（x）=x2-2x-3
令f′（x）=0即x2-2x-3=0解得x=-1或x=3
列表：
∴由表可知：函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；
单调递减区间为（-1，3）；
函数f（x）的极大值为
；极小值为-8．
| 1 |
| 3 |
∴f′（x）=x2-2ax-3a2
（2）∵a=1
∴f(x)=
| 1 |
| 3 |
令f′（x）=0即x2-2x-3=0解得x=-1或x=3
列表：
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，3） | 3 | （3，+∞） | ||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | 单调递增 | 极大值
|
单调递减 | 极小值-8 | 单调递增 |
单调递减区间为（-1，3）；
函数f（x）的极大值为
| 8 |
| 3 |
点评：此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点；
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