Question

（2009•昆明模拟）已知球O的半径为1，P、A、B、C四点都在球面上，PA⊥面ABC，AB=AC，∠BAC=90°．
（I）证明：BA⊥面PAC；
（II）若AP=

2

，求二面角O-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（I）利用线面垂直的性质，可得PA⊥AB，利用线面垂直的判定可得BA⊥面PAC；
（II）过O作OO₁⊥面ABC，垂足为O₁，过O作OM⊥PA于M，则M为PA的中点，连接O₁A，过O作OE⊥AC于E，连EO₁，则∠OEO₁为二面角O-AC-B的平面角，从而可得结论．

解答：（I）证明：∵PA⊥面ABC，AB?面ABC，∴PA⊥AB   （2分）
又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC
∵PA∩AC=A，∴BA⊥面PAC； （5分）
（II）解：过O作OO₁⊥面ABC，垂足为O₁，
∵AB=AC，∠BAC=90°．
∴O₁是ABC截面圆的圆心，且BC是直径，
过O作OM⊥PA于M，则M为PA的中点，
连接O₁A，则四边形MAO₁O为矩形，∴OO₁=

1

2

PA=

2

2

   （8分）
过O作OE⊥AC于E，连EO₁，则∠OEO₁为二面角O-AC-B的平面角   （10分）
在直角△OBO₁中，O1B=

OB2-OO12

=

2

2

∴BC=

2

，AB=1，∴O1E=

1

2

在直角△OEO₁中，tan∠OEO₁=

OO1

O1E

=

2

∴二面角O-AC-B的大小为arctan

2

  （12分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出面面角是关键．