Question

设函数y=f（x）=x²-bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称．又y=f（x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|．
（1）求b及k的值；
（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：++≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函数y=f（x）=x²-bx+1，根据偶函数的性质，f（-x）=f（x），求出b值，设方程x²+1=kx+2的两根为x₁，x₂，由|AB|=，可以求出k值；
（2）由（1）可知，将f（x）和g（x）代入F（x），对F（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；
（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x²）（2-x）≥恒成立，可以转化为≤（2x-x²），利用此不等式进行放缩，从而进行证明；
解答：解：（1）由已知，y=f（x）=x²-bx+1为偶函数，所以b=0；      …（2分）
设方程x²+1=kx+2的两根为x₁，x₂，由|AB|=得：
|x₁-x₂|===
解得k=-1；                                                         …（4分）
（2）由（1）知f（x）=x²+1，g（x）=-x+2，故F（x）=f（x）g（x）=-x³+2x²-x+2，
由F′（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=，…（6分）
列表如下：

x		（0，）		（，1）	1
F′（x）		-		+
F（x）	2	减函数		增函数	2

所以，函数F（x）在区间[0，1]上的最小值为f（）=；                  …（10分）
（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x²）（2-x）≥恒成立，
所以≤（2-x），有≤（2x-x²），…（12分）
当sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1时，
++≤[2（sinα+sinβ+sinγ）-（sin²α+sin²β+sin²γ）
=                                    …（14分）
又1=（sinα+sinβ+sinγ）²≤3（sin²α+sin²β+sin²γ），
∴sin²α+sin²β+sin²γ≥，
∴++≤（2-）=，
当且仅当sinα=sinβ=sinγ=时，等号成立．…（16分）
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其最值问题，解题的过程中用到了转化的思想，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，是一道难题，同学们要认真做好笔记；