Question

已知函数f(x)(x∈R，x≠

1

a

)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a1=

2

3

，a_n+1=f（a_n），bn=

an

1-an

，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）由ax•f（x）=2bx+f（x），x≠

1

a

，a≠0，得f(x)=

2bx

ax-1

．…（2分）
由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）
由f（x）=2x只有一解，即

2bx

ax-1

=2x，也就是2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，
∴4（1+b）²-4×2a×0=0
∴b=-1．…（5分）
∴a=-1．
故f(x)=

2x

x+1

．…（6分）
（Ⅱ）解法一：∵a1=

2

3

，a_n+1=f（a_n），
∴a2=f(a1)=f(

2

3

)=

4

5

，a3=f(a2)=f(

4

5

)=

8

9

，a4=f(a3)=f(

8

9

)=

16

17

，…（7分）
猜想，an=

2n

2n+1

(n∈N*)．…（8分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=

2

3

，右边=

21

21+1

=

2

3

，∴命题成立．…（10分）
②假设n=k时，命题成立，即ak=

2k

2k+1

；
当 n=k+1时，ak+1=f(ak)=

2ak

ak+1

=

2× 2k 2k+1

2k 2k+1 +1

=

2k+1

2k+1+1

，
∴当 n=k+1时，命题成立．…（12分）
由①②可得，当n∈N^*时，有an=

2n

2n+1

．…（13分）
∵bn=

an

1-an

=2n，(n∈N*)，
∴

bn+1

bn

=2，(n∈N*)a₁=2
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为b_n=2ⁿ．…（14分）
解法二：∵a1=

2

3

，an+1=f(an)=

2an

an+1

∴

1

an+1

=

1

2

(

1

an

+1)…（8分）
即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，…（10分）
∴

1

bn+1

=

1

2bn

即bn+1=2bn(n∈N+)…（12分）
则数列{b_n}是以b₁=2为首项2为公比的等比数列，b_n=2ⁿ，（n∈N^*）…（14分）