Question

已知焦点在x轴上的椭圆F₁，F₂是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使，则b的取值范围是 ________．

Answer 1

（0，]
分析：先证：若B为椭圆短轴端点，则∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．记∠F₁PF₂=θ，
|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，cosθ=推出cosθ≥=cos∠F₁BF₂，即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．
利用结论，题中椭圆上存在点P，使得∠F₁PF₂=90⁰，当且仅当∠F₁BF₂≥90⁰，推出b∈（0，]．
解答：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．记∠F₁PF₂=θ，
|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，cosθ===
又r₁r₂≤（）²=a²，∴cosθ≥=cos∠F₁BF₂，当且仅当r₁=r₂时等号成立，
即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．题中椭圆上存在点P，使得∠F₁PF₂=90⁰，当且仅当∠F₁BF₂≥90⁰，即
cos∠F₁BO≤等价于b≤a=，∴b∈（0，]．
故答案为：（0，]．
点评：本题考查椭圆的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力逻辑思维能力，是难题，考查转化思想．