Question

已知函数f(x)=lnx+

a

x

-a(a∈R)
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求证：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

对一切x∈(1，2)恒成立．

Answer 1

分析：（I）求导函数，对参数进行分类讨论：若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数；若a＞0，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调增区间，令f′（x）＜0，可得单调减区间；
（II）构造函数f(x)=

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

，求导函数，可得f'（x）=-

1

xln2x

+

1

(x-1)2

=

(x-1)2-xln2x

x(x-1)2ln2x

，令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=

2(x-lnx-1)

x

，设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），证明h（x）在（1，2）上单调增，从而可得g'（x）在（1，2）上单调增，进一步可得g（x）在（1，2）上单调增f（x）在（1，2）上单调减，即可得到结论．

解答：（I）解：求导函数，可得f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）
若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数，函数的单调增区间为（0，+∞）
若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
∴f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）；
（II）证明：设f(x)=

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

，求导函数，可得f'（x）=-

1

xln2x

+

1

(x-1)2

=

(x-1)2-xln2x

x(x-1)2ln2x

令g（x）=（x-1）²-x（lnx）²，g'（x）=2（x-1）-（lnx）²-2lnx，g“（x）=

2(x-lnx-1)

x

，
设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，2）上单调增，∴h（x）＞h（1）=0，
∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上单调增，∴g'（x）＞g'（1）=0，
∴g（x）在（1，2）上单调增，∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调减，f（x）＜f（2）＜0，
∴

1

lnx

-

1

x-1

-

1

2

＜0
∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．