Question

给出下列命题：
①已知，为互相垂直的单位向量，=-2，=+λ，且，的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（-∞，）；
②若某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是=10x+200；
③若x₁，x₂，x₃，x₄的方差为3，则3（x₁-1），3（x₂-1），3（x₃-1）），3（x₄-1）的方差为27；
④设a，b，C分别为△ABC的角A，B，C的对边，则方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°．
上面命题中，假命题的序号是    （写出所有假命题的序号）．

Answer 1

【答案】分析：根据λ=-2时，，同向，可判断①的真假；
根据回归系数符号与相关性的关系，可判断②的真假；
根据数据增加a，数据的方差不变，数据扩大a倍，数据的方差扩大a²倍，可判断③的真假；
根据充要条件的定义，分别判断A=90°时设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根和设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根时，A=90°的真假，可判断④的真假．
解答：解：∵λ=-2时，，同向，，的夹角为0，不是锐角，故①错误；
若某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程的回归系数＜0，不可能是=10x+200，故②错误
若x₁，x₂，x₃，x₄的方差为3，则（x₁-1），（x₂-1），（x₃-1）），（x₄-1）的方差为3，3（x₁-1），3（x₂-1），3（x₃-1）），3（x₄-1）的方差为3×3²=27，故③正确；
当A=90°时，a²=b²+c²，则x²+2ax+b²=0?x²+2ax+a²-c²=0?[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，该方程有两根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．
同样，x²+2cx-b²=0?[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，该方程亦有两根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a），显然x₁=x₃，两方程有公共根．
设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根为m，则x²+2ax+b²=0加x²+2cx-b²=0得m=-（a+c）．m=0（舍去）．将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，整理得a²=b²+c²，即A=90°，故④正确；
故答案为：①②
点评：本题又命题的真假判断为载体考查了向量的数量积运算，相关关系，方差的变化，充要条件等基础知识，难度中档．