题目内容
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处有极值,f(x)在x=2处的切线l不过第四象限且倾斜角为
,坐标原点到切线l的距离为
.(1)求a、b、c的值;
(2)求函数y=f(x)在区间［-1,
］上的最大值和最小值.
解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.
∵x=1时f(x)有极值,∴f′(1)=3+2a+b=0.①
∵f(x)在x=2处的切线l的倾斜角为,
∴f′(2)=12+4a+b=tan=1.②
由①②可解得a=-4,b=5.4分设切线l的方程为y=x+m,由坐标原点(0,0)到切线l的距离为,可得m=±1,又切线不过第四象限,∴m=1,切线方程为y=x+1.
∴切点坐标为(2,3).∴f(2)=8-16+10+c=3.∴c=1.故a=-4,b=5,c=1.
(2)由(1)知f(x)=x3-4x2+5x+1,f′(x)=3x2-8x+5=(x-1)(3x-5).∵x∈［-1,
］,
∴函数f(x)在区间［-1,1］上递增,在(1,
］上递减.
又f(-1)=-9,f(1)=3,f(
)=
,
∴f(x)在区间［-1,
］上的最大值为3,最小值为-9.
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