Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°．
（I）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（I）要证BC⊥平面PAC，只需证明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（Ⅱ）先作出二面角D-PC-A的平面角（利用三垂线定理），然后求解即可；
（Ⅲ）要求点B到平面PCD的距离，利用等体积法求解即可．
对于（Ⅱ）（Ⅲ），还可以利用空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积和距离公式解答．

解答：解：法一
（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）
（2）∵AB∥CD，∴∠DAB=120°
．∠ADC=60°，又AD=CD=1，∴△ADC为等边三角形，且AC=1．
取AC的中点O，则DO⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DO，
∴DO⊥平面PAC过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，
由三垂线定理知DH⊥PC．∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角．
由OH=

3

4

，DO=

3

2

．
∴tanDHO=

DO

OH

=2，∴∠DHO=arctan2．
∴二面角D-PC-A的大小为arctan2；（9分）
（3）设点B到平面PCD的距离的距离为d．
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD．
∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．（11分）
∵V_A-PCD=V_P-ACD，∴

15

4

d=

3

4

3

（13分）
∴d=

15

5

．（14分）

解法二
（1）同解法一；（4分）
（2）取CD的中点E，则AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
建立空间直角坐标系，如图．则
A(0，0，0)，P(0，0，

3

)，C(

3

2

，

1

2

，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，

AP

=(0，0，

3

)，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)，

PD

=(

3

2

，-

1

2

，0)，（7分）
设n₁=（x₁，y₁，z₁）为平面PAC的一个法向量，
n₂=（x₂，y₂，z₂）为平面PDC的一个法向量，
则

n1 • AC =0 n1 • AP =0

?

3 2 x1+ 1 2 y1=0 3 z1=0

?

y1=- 3 x1 z1=0

，
可取

n1

=(

3

，-3，0)；

n2 • DC =0 n2 • DP =0

?

y2=0 - 3 2 x2+ 1 2 y2+ 3 z2=0

?

y1=0 x2=2z2

可取

n2

=(2，0，1)．（9分）
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

（10分）
=

2 3

5 ×2 3

=

5

5

．
故所求二面角的大小为arccos

5

5

．（11分）
（3）又B(0，2，0)，

PB

=(0，2，-

3

)（7）．（12分）
由（Ⅱ）取平面PCD的一个法向量

n2

=(2，0，1)，
∴点B到平面PCD的距离的距离为d=

| n2 • PB |

| n2 |

． （13分）
=

|0×2+2×0- 3 |

5

=

15

5

．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直，二面角，点的平面的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．