Question

已知圆O的方程为x²＋y²＝1，直线l₁过点A(3,0)，且与圆O相切．

(1)求直线l₁的方程；

(2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l₂，直线PM交直线l₂于点P′，直线QM交直线l₂于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

[解析]　(1)∵直线l₁过点A(3,0)，∴设直线l₁的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，

则圆心O(0,0)到直线l₁的距离为d＝＝1，

解得k＝±.

∴直线l₁的方程为y＝±(x－3)．

(2)在圆O的方程x²＋y²＝1中，令y＝0得，x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l₂过点A与x轴垂直，∴直线l₂的方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x＋1)．

解方程组得，P′.

同理可得Q′.

∴以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－3)＋＝0，

又s²＋t²＝1，∴整理得(x²＋y²－6x＋1)＋y＝0，

若圆C经过定点，则y＝0，从而有x²－6x＋1＝0，

解得x＝3±2，

∴圆C总经过的定点坐标为(3±2，0)．,