Question

设函数f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）当b=1且函数f（x）在其定义域上为增函数时，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，试用a表示b；
（3）在（2）的条件下，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）当b=1且函数f（x）在其定义域上为增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，x∈（-1，+∞），采取分离参数的方法求得a的取值范围；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，求出a，b的方程；（3）在（2）的条件下，讨论函数f（x）的单调性，求导，比较方程f′（x）=0两根的大小，确定函数的单调区间．

解答：解：（1）当b=1时，函数f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定义域为（-1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

．
∵函数f（x）是增函数，∴当x＞-1时，∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

≥0恒成立．
即当x＞-1时，a≤2x+

1

x+1

恒成立．
∵当x＞-1时，2x+

1

x+1

=2(x+1)+

1

x+1

-2≥2

2

-2，
且当x=

2

2

-1时取等号．∴a的取值范围为(-∞，2

2

-2]．
（2）∵f′(x)=2x-a+

b

x+1

，且函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此时f′(x)=2x-a+

2a-4

x+1

=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

．
当

a-4

2

=1，即a=6时，f'（x）≥0恒成立，
此时x=1不是极值点．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由f′(x)=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

得
①当a＜2时，

a-4

2

≤-1．∴当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0．∴当a＜2时，
f（x）的单调递减区间为（-1，1），单调递增区间为（1，+∞）．
②当2＜a＜6时，-1＜

a-4

2

＜1．
∴当-1＜x＜

a-4

2

，或x＞1时，f'（x）＞0；
当

a-4

2

＜x＜1时，f'（x）＜0；
∴当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(

a-4

2

，1)，
单调递增区间为(-1，

a-4

2

)，（1，+∞）．
③当a＞6时，

a-4

2

＞1．∴当-1＜x＜1，或x＞

a-4

2

时，f'（x）＞0；
当1＜x＜

a-4

2

时，f'（x）＜0；
∴当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，

a-4

2

)，
单调递增区间为(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．
综上所述：∴当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（-1，1），
单调递增区间为（1，+∞）；
当2＜a＜6时，f（x）的单调递减区间为(

a-4

2

，1)，
单调递增区间为(-1，

a-4

2

)，(1，+∞)；
当a＞6时，f（x）的单调递减区间为(1，

a-4

2

)，
单调递增区间为(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．

点评：考查函数在某点取得极值的条件和函数的单调性与导数的关系，在求a的取值范围时采取的分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，讨论函数单调性是，对于程f′（x）=0两根的大小的比较，体现了分类讨论的思想方法，属难题．