题目内容

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②若p=a+ $数学公式$ （a＞2），q= $数学公式$ （x∈R），则p＞q，
③已知 $数学公式$ =| $数学公式$ |=2， $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为 $数学公式$ ，则 $数学公式$ + $数学公式$ 在 $数学公式$ 上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x= $数学公式$ 处取得最小值，则f（ $数学公式$ -x）=-f（x）．
其中正确命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号都填上）

①③④
分析：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则 $\text{[math]}$ 可求x的范围②利用基本不等式可求p=a+ $\text{[math]}$ =a-2+ $\text{[math]}$ ≥4，而q= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则可比较p，q的大小③求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角θ及| $\text{[math]}$ |，根据投影的定义可得， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影为| $\text{[math]}$ |cosθ，代入可求④由f（x）=asinx-bcosx在x= $\text{[math]}$ 处取得最小值，可得a=-b，代入到函数中可得f（x）=asinx+acosx= $\text{[math]}$ 把f（ $\text{[math]}$ -x）代入检验
解答：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则 $\text{[math]}$ ?x＞1，①正确
②p=a+ $\text{[math]}$ =a-2+ $\text{[math]}$ ≥4（a＞2），q= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则p≥q，②错误
③由 $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |=2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为投影为30°，根据投影的定义可得， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影为
| $\text{[math]}$ |cos30°=2 $\text{[math]}$ ，③正确
④f（x）=asinx-bcosx，在x= $\text{[math]}$ 处取得最小值，可得a=-b，则f（x）=asinx+acosx= $\text{[math]}$
，f（ $\text{[math]}$ -x）═ $\text{[math]}$ =-f（x），④正确
故答案为：①③④
点评：本题是一道把不等式的性质及利用基本不等式求解最值、向量的夹角及投影的定义的考查、三角函数的性质等知识的综合运用，此类问题在高考中一般会出现在填空的压轴题，要求考生能够熟练的运用所学的知识解决综合问题．