Question

已知a∈R，函数f(x)＝x³－3x²＋3ax－3a＋3

(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当x∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由题意(x)＝3x2－6x＋3a，故(1)＝3a－3．又f(1)＝1，所以所求的切线方程为 　　y＝(3a－3)x－3a＋4 　　(Ⅱ)由于(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0x≤2．故 　　(ⅰ)当a≤0时，有(x)≤0，此时f(x)在[0，2]上单调递减，故 　　|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a 　　(ⅱ)当a≥1时，有(x)≥0，此时f(x)在[0，2]上单调递增，故 　　|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1 　　(ⅲ)当0＜a＜1时，设x1＝1－，x2＝1＋，则 　　0＜x1＜x2＜2，(x)＝3(x－x1)(x－x2) 　　下列表如下： 　　由于f(x1)＝1＋2(1－a)，f(x2)＝1－2(1－a)， 　　故f(x1)＋f(x2)＝2＞0，f(x1)× f(x2)＝4(1－a)＞0 　　从而f(x1)＞|f(x2)|． 　　所以|f(x)|max＝max{f(0)，|f(2)|，f(x1)} 　　(1)当0＜a＜时，f(0)＞|f(2)|． 　　又f(x1)－f(0)＝2(1－a)－(2－3a)＝＞0 　　故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a)． 　　(2)当≤a＜1时，|f(2)|＝f(2)，且f(2)≥f(0)． 　　又f(x1)－|f(2)|＝2(1－a)－(3a－2)＝ 　　所以①当≤a＜时，f(x1)＞|f(2)|．故|f(x)|max＝f(x1)＝1＋2(1－a)． 　　②当≤a＜1时，f(x1)≤|f(2)|．故|f(x)|max＝|f(2)|＝3a－1． 　　综上所述，|f(x)|max＝

提示：

本题考查导数的几何意义，导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等分析问题和解决问题的能力