Question

已知A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x²+y²=1}.

(1)问a取何值时,(A∪B)∩C是有且只有两个元素的集合？

(2)a取何值时,(A∪B)∩C是只含有三个元素的集合？

Answer 1

分析：本题可将对方程组的求解转化为对几何图形的讨论.

解：集合A是平面上过P(0，1)，R(1，1-a)的直线；集合B是平面上过Q(1，0)、S(1-a,1)的直线；集合C是单位圆.

(1)两直线和单位圆有且只有两个交点分两种情况.

①两直线分别与单位圆相切，此时a=0；

②两直线均过P、Q两点，此时a=1.

∴当a=0或a=1时，(A∪B)∩C={(0,1),(1,0)}.

(2)当(A∪B)∩C有三个元素时，只有当两直线的交点也在单位圆上.

    由得交点T(,),∴()²+()²=1,

    解得a=±-1.

    这时(A∪B)∩C={(0，1)，(1，0)，(，)}或(A∪B)∩C={(0，1)，(1，0)，(-，-)}.