Question

【题目】如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.

（1）将表示为的函数；

（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）当米时，平方米.

【解析】

试题分析：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.由此求得所在抛物线的方程为，即.同时可求得线段的方程为，且.所以；（2）当时，可利用导数求得当，取得最大值为；当，这是一个二次函数，在对称轴时取得最大值为，综上所述，最大值为.

试题解析：

（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.

设曲线段所在抛物线的方程为，

将点代入，得，

即曲线段的方程为.

又由点得线段的方程

为.

而，

所以

（2）①当时，因为，

所以，由，得，

当时，，所以递增；

当时，，所以递减，所以当时，；

②当时，因为，

所以当时，；

综上，因为，所以当米时，平方米.