Question

【题目】已知函数，.

(1)讨论函数的零点个数；

(2)求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究函数的单调性，进而得到函数的变化趋势，结合图像得到函数的零点个数；（2）不等式可化为，记，证得即可.

详解：(1)由题，，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，∴有极大值.

且当时，；时，，所以，当或时，恰有一个零点；时，有两个零点；时，没有零点.

(2)由(1)可知，.①当时，不等式可化为，记，得.

设，则，

∴在上单调递增，又，，在上图象是不间断的，

∴存在唯一的实数，使得，∴当时，，，在上递减，当时，，，在上递增，

∴当时，有极小值，即为最小值，，

又，所以，所以.

又，∴，∴，

所以，，即.

②当时，设，则，

∴在上单调递减，∴，

所以，

综上所述，.