Question

与直线y=kx切于点(

6

5

，

8

5

)，与x轴相切，且圆心在第一象限内的圆的标准方程为

（x-2）²+（y-1）²=1

．

Answer 1

分析：设出圆心A的坐标为（a，b），且根据圆心在第一象限得到a与b都大于0，再根据圆与x轴相切，得到圆的半径等于b，利用两点间的距离求出圆心到切点的距离，使求出的距离等于半径b，列出关于a与b的方程，记作①，又把切点坐标代入直线y=kx确定出k的值，从而得到直线的方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，使d等于圆的半径b，列出a与b的另一个关系式，记作②，把②代入①消去a得到关于b的一元二次方程，求出方程的解即可得到b的值，把b的值代入②可得a的值，从而确定出圆心坐标及圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：设圆心A坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与x轴相切得到圆的半径r=|b|=b，
又圆与直线y=kx切于点B(

6

5

，

8

5

)，得到|AB|=r，
即

(a- 6 5 )2+(b- 8 5 )2

=b，即5a²-12a-16b+20=0①，
又(

6

5

，

8

5

)在直线y=kx上，代入直线可得k=

4

3

，
所以直线方程为y=

4

3

x，即4x-3y=0，
所以圆心到直线的距离d=

|4a-3b|

5

=b，
即（2a+b）（a-2b）=0，
∵2a+b≠0，∴a-2b=0，即a=2b②，
把②代入①得：b²-2b+1=0，即（b-1）²=0，解得b=1，
把b=1代入②得：a=2，
所以圆心坐标为（2，1），半径r=1，
则圆的标准方程为：（x-2）²+（y-1）²=1．
故答案为：（x-2）²+（y-1）²=1

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，用到的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，方程及转化的思想，要求学生会根据圆心和半径写出圆的标准方程，直线与圆的位置关系的判定方法有：当0≤d＜1时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．