Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．（2）设bn=

2n

(an+1)(an+1+1)

，Tn=b1+b2+…+b_n，求证：

1

3

≤Tn＜1

Answer 1

分析：（1）利用递推关系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，可求通项a_n
（2）结合（1）可得bn=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)，然后利用裂项求和求T_n即可证明．

解答：解：（1）∵a_n+1-S_n-1=0①∴n≥2时，a_n-S_n-1-1=0②
①-②得：（(an+1-an)-(Sn-Sn-1)=0?(an+1-an)-an=0?

an+1

an

=2(n≥2)
由a_n+1-2S_n-1=0及a₁=1得a₂-S₁-1=0?a₂=S₁+1=a₁+1=2∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1

（2）∵bk=

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=

2k

(2k-1+1)(2k+1)

=2(

1

2k-1+1

-

1

2k+1

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

2

(a1+1)(a2+1)

+

22

(a2+1)(a3+1)

+

23

(a3+1)(a4+1)

++

2n

(an+1)(an+1+1)

=2[(

1

20+1

-

1

2+1

)+(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

22+1

)++(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]=2(

1

2

-

1

2n+1

)
∵0＜

1

2n+1

≤

1

3

，∴

1

3

≤2(

1

2

-

1

2n+1

)＜1，
所以

1

3

≤Tn＜1

点评：本题主要考查了利用结论：s_n=a₁+a₂+…+a_n，s_n-1=a₁+a+…+a_n-1（n≥2）是求解本题的关键，是进行数列“项”与“和”之间的转化常用的公式，但要注意对n=1的检验．