Question

已知函数．

（1）证明函数的图像关于点对称;

（2）若，求；

（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）函数的定义域为，设、是函数图像上的两点, 其中且,则有，因此函数图像关于点对称（2）（3）

【解析】

试题分析：（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,

则有 

因此函数图像关于点对称                           4分

（2）由（1）知当时，

①     ②

①+②得                         8分

（3）当时，

当时，，

当时， =

∴ （）

又对一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值

∴，即

所以的取值范围是                                12分

考点：函数对称性，求最值与数列求和

点评：证明函数关于点对称只需证明，第二问数列求和结合通项的特点采用倒序相加法，第三问将不等式恒成立转化为求函数最值，进而可借助于导数求解