Question

已知f（x）=x³-6ax²+9a²x（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）当a＞0时，若对?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后对a进行分析讨论求f'（x）＜0的x的范围．
（2）先根据导函数的解析式确定函数f（x）的单调性，然后根据a的不同范围进行讨论进而确定其答案．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-12ax+9a²=3（x-a）（x-3a）＜0
（1）当a=3a，即a=0时，f'（x）=3x²＞0，不成立．
（2）当a＞3a，即a＜0时，单调减区间为（3a，a）．
（3）当a＜3a，即a＞0时，单调减区间为（a，3a）．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-12ax+9a²=3（x-a）（x-3a），
f（x）在（0，a）上递增，在（a，3a）上递减，在（3a，+∞）上递增．
（1）当a≥3时，函数f（x）在[0，3]上递增，
所以函数f（x）在[0，3]上的最大值是f（3），
若对?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(3)≤4 a≥3

解得a∈φ．
（2）当1≤a＜3时，有a＜3≤3a，此时函数f（x）在[0，a]上递增，在[a，3]上递减，
所以函数f（x）在[0，3]上的最大值是f（a），
若对?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(a)≤4 1≤a＜3

解得a=1．
（3）当a＜1时，有3＞3a，此时函数f（x）在[a，3a]上递减，在[3a，3]上递增，
所以函数f（x）在[0，3]上的最大值是f（a）或者是f（3）．
由f（a）-f（3）=（a-3）²（4a-3），
①0＜a≤

3

4

时，f（a）≤f（3），
若对?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(3)≤4 0＜a≤ 3 4

解得a∈[1-

2 3

9

，

3

4

]．
②

3

4

＜a＜1时，f（a）＞f（3），
若对?x∈[0，3]有f（x）≤4恒成立，需要有

f(a)≤4 3 4 ＜a＜1

解得a∈(

3

4

，1)．
综上所述，a∈[1-

2 3

9

，1]．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．